# Gravitacion y problema de dos cuerpos

La ley de gravitación universal describe la interaccion atractiva entre masas y permite estudiar desde la caida de cuerpos hasta la dinamica orbital. Cuando dos masas interactuan de forma dominante entre si, el problema puede reformularse en terminos del centro de masa y de la coordenada relativa.

## Objetivos de aprendizaje

- Aplicar la ley de gravitación universal.
- Calcular campo y potencial gravitatorio.
- Estudiar orbitas circulares como balance entre fuerza y aceleracion centripeta.
- Relacionar energia mecanica con sistemas ligados y no ligados.
- Introducir el problema de dos cuerpos y el uso del centro de masa.

## Ley de gravitacion universal

```{math}
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
```

## Campo y potencial

```{math}
\vec{g} = - G \frac{M}{r^2} \hat{r}
```

```{math}
U(r) = - G \frac{M m}{r}
```

## Centro de masa y coordenada relativa

Para dos masas `m_1` y `m_2`, el centro de masa se define como

```{math}
\vec{R}=\frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{m_1+m_2}
```

y la coordenada relativa como

```{math}
\vec{r}=\vec{r}_1-\vec{r}_2
```

Esta transformacion simplifica el analisis orbital porque separa el movimiento global del sistema de la dinamica interna.

## Orbita circular

```{math}
\frac{m v^2}{r} = G \frac{M m}{r^2}
```

```{math}
v = \sqrt{\frac{GM}{r}}
```

## Energia efectiva y estabilidad orbital

En fuerzas centrales, una idea util es reorganizar la dinamica radial mediante un potencial efectivo. Esto ayuda a visualizar radios permitidos, barreras centrifugas y condiciones de estabilidad.

## Extensiones importantes

- Orbitas elipticas y leyes de Kepler.
- Velocidad de escape.
- Dispersión clasica en potenciales centrales.
- Mareas y variacion espacial del campo gravitatorio.

## Problemas tipo

1. Velocidad orbital.
1. Velocidad de escape.
1. Comparacion de energia potencial gravitatoria cerca y lejos de la Tierra.
1. Sistema de dos cuerpos usando centro de masa y coordenada relativa.