Unidad 1: Sistema de unidades, magnitudes y vectores

Contenido

Unidad 1: Sistema de unidades, magnitudes y vectores#

Descripción general#

Esta unidad introduce el lenguaje básico de la física mecánica: la medición de magnitudes físicas, el uso correcto de unidades y la representación matemática de cantidades vectoriales. Se estudia el Sistema Internacional de Unidades, la conversión entre sistemas, el análisis dimensional y las operaciones fundamentales con vectores.

Objetivo de aprendizaje#

Al finalizar esta unidad, el estudiante será capaz de:

  • Identificar magnitudes físicas fundamentales y derivadas.

  • Expresar correctamente cantidades físicas en el Sistema Internacional.

  • Realizar conversiones de unidades.

  • Aplicar análisis dimensional para verificar ecuaciones físicas.

  • Distinguir entre magnitudes escalares y vectoriales.

  • Representar y operar vectores en forma gráfica y analítica.

1. Introducción a la física y la medición#

La física estudia los fenómenos naturales y busca describirlos mediante leyes y modelos matemáticos. Para ello, toda observación debe expresarse a través de una magnitud y su unidad.

Medir una magnitud significa compararla con un patrón previamente definido. Por eso, en mecánica es indispensable trabajar con sistemas de unidades consistentes.

2. Magnitudes físicas#

Magnitudes escalares#

Son aquellas que quedan completamente descritas por un número y una unidad.

Ejemplos:

  • masa

  • tiempo

  • temperatura

  • energía

  • longitud

Magnitudes vectoriales#

Son aquellas que requieren:

  • magnitud

  • dirección

  • sentido

Ejemplos:

  • desplazamiento

  • velocidad

  • aceleración

  • fuerza

3. Sistema Internacional de Unidades (S.I.)#

El sistema de unidades más utilizado en ciencia e ingeniería es el Sistema Internacional de Unidades (S.I.).

Magnitudes fundamentales más importantes en mecánica#

Magnitud

Unidad SI

Símbolo

Longitud

metro

m

Masa

kilogramo

kg

Tiempo

segundo

s

Magnitudes derivadas frecuentes en mecánica#

Magnitud

Unidad SI

Símbolo

Velocidad

metro por segundo

m/s

Aceleración

metro por segundo cuadrado

m/s²

Fuerza

newton

N

Energía

joule

J

Frecuencia

hertz

Hz

Relación entre algunas unidades derivadas#

  • Velocidad: \(m/s\)

  • Aceleración: \(m/s^2\)

  • Fuerza: \(kg \cdot m/s^2\)

  • Energía: \(kg \cdot m^2/s^2\)

4. Notación científica y prefijos#

Se utilizan potencias de 10 para escribir cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Ejemplos:

  • \(1 \text{ km} = 10^3 \text{ m}\)

  • \(1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}\)

  • \(1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}\)

Prefijos comunes#

Prefijo

Símbolo

Factor

kilo

k

\(10^3\)

centi

c

\(10^{-2}\)

mili

m

\(10^{-3}\)

micro

\(\mu\)

\(10^{-6}\)

nano

n

\(10^{-9}\)

5. Conversión de unidades#

Las conversiones consisten en expresar una misma cantidad en unidades diferentes sin alterar su valor físico.

Tabla general de unidades S.I. para conversiones#

Unidades base del S.I.#

Magnitud

Unidad S.I.

Símbolo

longitud

metro

m

masa

kilogramo

kg

tiempo

segundo

s

corriente eléctrica

amperio

A

temperatura termodinámica

kelvin

K

cantidad de sustancia

mol

mol

intensidad luminosa

candela

cd

Unidades derivadas frecuentes#

Magnitud derivada

Unidad SI

Símbolo

Expresión en unidades base

área

metro cuadrado

m²

\(m^2\)

volumen

metro cúbico

m³

\(m^3\)

velocidad

metro por segundo

m/s

\(m \cdot s^{-1}\)

aceleración

metro por segundo cuadrado

m/s²

\(m \cdot s^{-2}\)

fuerza

newton

N

\(kg \cdot m \cdot s^{-2}\)

trabajo / energía

joule

J

\(kg \cdot m^2 \cdot s^{-2}\)

potencia

watt

W

\(kg \cdot m^2 \cdot s^{-3}\)

presión

pascal

Pa

\(kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}\)

frecuencia

hertz

Hz

\(s^{-1}\)

carga eléctrica

coulomb

C

\(A \cdot s\)

diferencia de potencial

volt

V

\(kg \cdot m^2 \cdot s^{-3} \cdot A^{-1}\)

Prefijos S.I. más usados#

Prefijo

Símbolo

Factor

giga

G

\(10^9\)

mega

M

\(10^6\)

kilo

k

\(10^3\)

hecto

h

\(10^2\)

deca

da

\(10^1\)

deci

d

\(10^{-1}\)

centi

c

\(10^{-2}\)

mili

m

\(10^{-3}\)

micro

µ

\(10^{-6}\)

nano

n

\(10^{-9}\)

pico

p

\(10^{-12}\)

Equivalencias rápidas#

Conversión

Equivalencia

longitud

\(1 \text{ km} = 10^3 \text{ m}\)

longitud

\(1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}\)

longitud

\(1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}\)

masa

\(1 \text{ g} = 10^{-3} \text{ kg}\)

tiempo

\(1 \text{ min} = 60 \text{ s}\)

tiempo

\(1 \text{ h} = 3600 \text{ s}\)

volumen

\(1 \text{ L} = 10^{-3} \text{ m}^3\)

área

\(1 \text{ cm}^2 = 10^{-4} \text{ m}^2\)

volumen

\(1 \text{ cm}^3 = 10^{-6} \text{ m}^3\)

velocidad

\(1 \text{ km/h} \approx 0.278 \text{ m/s}\)

Idea central#

Se multiplica por un factor de conversión equivalente a 1.

Ejemplo:

Si queremos convertir \(72 \text{ km/h}\) a \(\text{m/s}\):

\[ 72 \text{ km/h} = \frac{72 \text{ km}}{1 \text{ h}} \cdot \frac{1000 \text{ m}}{1 \text{ km}} \cdot \frac{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = 20 \text{ m/s} \]

Truco

  • Escribir siempre las unidades

  • Cancelar unidades paso a paso

  • Revisar que la unidad final sea la pedida.

6. Análisis dimensional#

El análisis dimensional permite verificar si una ecuación física es consistente desde el punto de vista de sus dimensiones.

Dimensiones fundamentales en mecánica#

  • longitud: \(L\)

  • masa: \(M\)

  • tiempo: \(T\)

Ejemplos#

  • velocidad: \([v] = L*T^{-1}\)

  • aceleración: \([a] = LT^{-2}\)

  • fuerza: \([F] = MLT^{-2}\)

  • energía: \([E] = ML^2T^{-2}\)

Aplicación#

Si una ecuación no tiene las mismas dimensiones en ambos lados, entonces no puede ser correcta físicamente.

Ejemplo:

\[ x = v t \]

Dimensionalmente:

\[ L = (LT^{-1})(T) = L \]

Por lo tanto, la expresión es consistente.

7. Introducción a los vectores#

Un vector es una cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido.

Notación:

  • \(\vec{A}\)

  • \(\vec{a}\)

  • \(\vec{AB}\)

Se representa gráficamente por una flecha.

  • El largo representa la magnitud.

  • La orientación representa la dirección.

  • La punta indica el sentido.

../../_images/vector_AB.png

Figura 1 Vector AB, desde el punto A, al punto B#

Ejemplos físicos de vectores#

  • desplazamiento

  • velocidad

  • aceleración

  • fuerza

../../_images/vector_v.png

Figura 2 Vector de Tensión (\(\vec{T}\)) y Vector de Velocidad (\(\vec{V}\))#

8. Propiedades de los vectores#

Igualdad de vectores#

Dos vectores son iguales si tienen:

  • la misma magnitud;

  • la misma dirección;

  • el mismo sentido.

Vector nulo#

Es el vector de magnitud cero.

Vector opuesto#

Si \(\vec{A}\) es un vector, entonces su opuesto es \(-\vec{A}\).

Ambos tienen la misma magnitud, pero sentidos opuestos.

9. Suma de vectores#

Método punta-cola#

Para sumar dos vectores:

  1. se dibuja el primero

  2. se coloca el origen del segundo en la punta del primero

  3. el vector resultante va desde el origen del primero hasta la punta del segundo.

../../_images/suma_de_vectores.png

Figura 3 Suma de los vectores A y B#

Método del paralelogramo#

Si ambos vectores parten del mismo punto, la diagonal del paralelogramo formado representa la suma.

../../_images/suma_de_vectores2.png

Figura 4 Suma de los vectores A y B#

Propiedades#

  • conmutativa: \(\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}\)

  • asociativa: \((\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C})\)

10. Resta de vectores#

Restar un vector equivale a sumar su opuesto:

\[ \vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B}) \]

Gráficamente, se invierte el sentido de \(\vec{B}\) y luego se suma.

../../_images/vect_rest.png

Figura 5 Resta de los vectores A y B#

11. Multiplicación de un vector por un escalar#

Si \(c\) es un número real y \(\vec{A}\) es un vector:

\[ c\vec{A} \]

es un nuevo vector cuya magnitud es \(|c|\) veces la de \(\vec{A}\).

  • Si \(c > 0\), conserva el sentido.

  • Si \(c < 0\), cambia de sentido.

12. Sistemas de coordenadas#

Para describir vectores en forma analítica se utiliza un sistema de coordenadas.

../../_images/vector_coord.png

Figura 6 Vector descrito de forma anlítica en el sistema de coordenadas 3D#

Coordenadas cartesianas en 2D#

Un vector puede escribirse como:

\[ \vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} \]

donde:

  • \(A_x\) es la componente en el eje \(x\);

  • \(A_y\) es la componente en el eje \(y\);

  • \(\hat{i}\) y \(\hat{j}\) son vectores unitarios.

En 3D#

\[ \vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k} \]

13. Magnitud de un vector#

Para un vector en dos dimensiones:

\[ |\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} \]

Para un vector en tres dimensiones:

\[ |\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} \]

14. Dirección de un vector en el plano#

Si un vector forma un ángulo \(\alpha\) con el eje \(x\) positivo, entonces:

../../_images/trigonometria_vect.png

Figura 7 Descomposición de un vector#

\[ A_x = A \cos \alpha \]
\[ A_y = A \sin \alpha \]

Y también:

\[ \tan \alpha = \frac{A_y}{A_x} \]

Esto permite pasar entre forma polar y forma cartesiana.

15. Vector unitario#

Un vector unitario tiene magnitud 1 y sirve para indicar dirección.

Si \(\vec{A}\) es un vector, su vector unitario asociado es:

\[ \hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} \]

16. Descomposición de vectores#

Todo vector puede descomponerse en sus componentes sobre los ejes coordenados.

Si conocemos su magnitud \(A\) y su ángulo \(\theta\):

\[ \vec{A} = A \cos \theta \, \hat{i} + A \sin \theta \, \hat{j} \]

Esta idea es fundamental para el resto del curso, porque permite analizar movimientos y fuerzas en distintas direcciones por separado.

Los vectores pueden descomponerse en componentes que son perpendiculares entre sí, usualmente en las direcciones \(x\) y \(y\). Esto permite analizar movimientos y fuerzas en distintas direcciones por separado.

../../_images/relaciones_trigonometricas.png

Figura 8 Diagrama de relaciones trigonometricas#

Radianes#

Para trabajar con ángulos en física y matemáticas es muy común usar radianes en lugar de grados.

Un radián se define como el ángulo que subtiende un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio.

La relación entre grados y radianes es:

\[ 180^\circ = \pi \text{ rad} \]

De aquí se obtienen conversiones útiles:

  • \(360^\circ = 2\pi \text{ rad}\)

  • \(90^\circ = \frac{\pi}{2} \text{ rad}\)

  • \(45^\circ = \frac{\pi}{4} \text{ rad}\)

  • \(30^\circ = \frac{\pi}{6} \text{ rad}\)

Para convertir de grados a radianes:

\[ \theta_{\text{rad}} = \theta_{^\circ} \cdot \frac{\pi}{180} \]

Para convertir de radianes a grados:

\[ \theta_{^\circ} = \theta_{\text{rad}} \cdot \frac{180}{\pi} \]
../../_images/G1.png

Figura 9 Ángulos a radianes#

Coordenadas polares#

Además de expresar un vector mediante sus componentes cartesianas, también puede describirse mediante su magnitud y su ángulo respecto del eje \(x\) positivo. Esta forma corresponde a la representación en coordenadas polares.

Un vector en el plano puede representarse como:

\[ \vec{A} = (A, \theta) \]

donde:

  • \(A\) es la magnitud del vector;

  • \(\theta\) es el ángulo medido desde el eje \(x\) positivo.

La relación entre coordenadas polares y cartesianas es:

\[ A_x = A \cos \theta \]
\[ A_y = A \sin \theta \]

Y en sentido inverso:

\[ A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{A_y}{A_x}\right) \]

Las coordenadas polares son especialmente útiles para describir vectores cuando se conoce directamente su magnitud y dirección, por ejemplo en problemas de desplazamiento, velocidad o fuerza aplicada con un cierto ángulo.

../../_images/polares.png

Figura 10 Coordenadas polares#

Ejemplo: suma de vectores en coordenadas polares#

Supongamos que queremos sumar los siguientes dos vectores:

\[ \vec{A} = (10,\ 30^\circ) \]
\[ \vec{B} = (8,\ 120^\circ) \]

donde la primera componente representa la magnitud y la segunda el ángulo medido desde el eje \(x\) positivo.

Paso 1: convertir cada vector a coordenadas cartesianas#

Para el vector \(\vec{A}\):

\[ A_x = 10 \cos 30^\circ = 10 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \approx 8.66 \]
\[ A_y = 10 \sin 30^\circ = 10 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \]

Por lo tanto,

\[ \vec{A} \approx 8.66 \hat{i} + 5 \hat{j} \]

Para el vector \(\vec{B}\):

\[ B_x = 8 \cos 120^\circ = 8 \left(-\frac{1}{2}\right) = -4 \]
\[ B_y = 8 \sin 120^\circ = 8 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \approx 6.93 \]

Por lo tanto,

\[ \vec{B} \approx -4 \hat{i} + 6.93 \hat{j} \]

Paso 2: sumar las componentes cartesianas#

\[ R_x = A_x + B_x = 8.66 + (-4) = 4.66 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 5 + 6.93 = 11.93 \]

Entonces el vector resultante es:

\[ \vec{R} \approx 4.66 \hat{i} + 11.93 \hat{j} \]

Paso 3: convertir el resultado a coordenadas polares#

La magnitud del vector resultante es:

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \]
\[ R = \sqrt{(4.66)^2 + (11.93)^2} \approx \sqrt{21.72 + 142.32} \approx \sqrt{164.04} \approx 12.81 \]

El ángulo del vector resultante es:

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{11.93}{4.66}\right) \approx 68.7^\circ \]

Resultado final#

La suma de los vectores es aproximadamente:

\[ \vec{R} = (12.81,\ 68.7^\circ) \]

Conclusión#

Para sumar vectores dados en coordenadas polares, normalmente se sigue este procedimiento:

  1. convertir cada vector a coordenadas cartesianas;

  2. sumar las componentes en \(x\) y en \(y\);

  3. convertir el resultado nuevamente a coordenadas polares, si se desea expresar así.

Truco

Los vectores no se suman directamente en forma polar componente a componente como sí ocurre en forma cartesiana. Por eso casi siempre se pasa primero a \(x\) e \(y\).

Vectores en 2D y en 3D#

A continuación se presentan dos ejercicios resueltos:

  1. Operaciones con vectores en 2D

  2. Operaciones con vectores en 3D

Ejercicio 1: Vectores en 2D#

Sean los vectores:

\[ \vec{A} = \left( 3, 4 \right) \]
\[ \vec{B} = \left( -1, 2 \right) \]

Calcular:

  1. La suma \(\vec{A} + \vec{B}\)

  2. La resta \(\vec{A} - \vec{B}\)

  3. El módulo de \(\vec{A}\)

  4. El producto escalar \(\vec{A} \cdot \vec{B}\)

Solución#

Paso 1: Suma de vectores#

La suma de vectores se realiza componente a componente:

\[ \vec{A} + \vec{B} = \left( 3,4 \right) + \left( -1,2 \right) \]
\[ \vec{A} + \vec{B} = \left( 3 + (-1),\ 4 + 2 \right) \]
\[ \vec{A} + \vec{B} = \left( 2,6 \right) \]

Paso 2: Resta de vectores#

La resta también se realiza componente a componente:

\[ \vec{A} - \vec{B} = \left( 3,4 \right) - \left( -1,2 \right) \]
\[ \vec{A} - \vec{B} = \left( 3 - (-1),\ 4 - 2 \right) \]
\[ \vec{A} - \vec{B} = \left( 4,2 \right) \]

Paso 3: Módulo de \(\vec{A}\)#

El módulo de un vector en 2D se calcula con:

\[ |\vec{A}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Sustituyendo los valores de \(\vec{A} = \left( 3,4 \right)\):

\[ |\vec{A}| = \sqrt{3^2 + 4^2} \]
\[ |\vec{A}| = \sqrt{9 + 16} \]
\[ |\vec{A}| = \sqrt{25} \]
\[ |\vec{A}| = 5 \]

Paso 4: Producto escalar#

El producto escalar entre dos vectores en 2D es:

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = A_xB_x + A_yB_y \]

Sustituyendo:

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = (3)(-1) + (4)(2) \]
\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = -3 + 8 \]
\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = 5 \]

Resultado final del ejercicio 2D#

\[ \vec{A} + \vec{B} = \left( 2,6 \right) \]
\[ \vec{A} - \vec{B} = \left( 4,2 \right) \]
\[ |\vec{A}| = 5 \]
\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = 5 \]

Concepto clave#

Un vector en 2D se representa mediante dos componentes, una en el eje \(x\) y otra en el eje \(y\).

Explicación#

En dos dimensiones, un vector se escribe como:

\[ \vec{v} = \left( x,y \right) \]

Las operaciones básicas son:

  • Suma: se suman las componentes correspondientes

  • Resta: se restan las componentes correspondientes

  • Módulo: representa la longitud del vector

  • Producto escalar: mide la relación entre dos vectores y puede usarse para encontrar ángulos o verificar perpendicularidad

Ejercicio 2: Vectores en 3D#

Sean los vectores:

\[ \vec{U} = \left( 2,-1,3 \right) \]
\[ \vec{V} = \left( 1,4,-2 \right) \]

Calcular:

  1. La suma \(\vec{U} + \vec{V}\)

  2. La resta \(\vec{U} - \vec{V}\)

  3. El módulo de \(\vec{U}\)

  4. El producto escalar \(\vec{U} \cdot \vec{V}\)

Solución#

Paso 1: Suma de vectores#

Se suman las tres componentes:

\[ \vec{U} + \vec{V} = \left( 2,-1,3 \right) + \left( 1,4,-2 \right) \]
\[ \vec{U} + \vec{V} = \left( 2+1,\ -1+4,\ 3+(-2) \right) \]
\[ \vec{U} + \vec{V} = \left( 3,3,1 \right) \]

Paso 2: Resta de vectores#

Se restan las componentes correspondientes:

\[ \vec{U} - \vec{V} = \left( 2,-1,3 \right) - \left( 1,4,-2 \right) \]
\[ \vec{U} - \vec{V} = \left( 2-1,\ -1-4,\ 3-(-2) \right) \]
\[ \vec{U} - \vec{V} = \left( 1,-5,5 \right) \]

Paso 3: Módulo de \(\vec{U}\)#

El módulo de un vector en 3D se calcula como:

\[ |\vec{U}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Sustituyendo:

\[ |\vec{U}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} \]
\[ |\vec{U}| = \sqrt{4 + 1 + 9} \]
\[ |\vec{U}| = \sqrt{14} \]

Paso 4: Producto escalar#

El producto escalar en 3D es:

\[ \vec{U} \cdot \vec{V} = U_xV_x + U_yV_y + U_zV_z \]

Sustituyendo:

\[ \vec{U} \cdot \vec{V} = (2)(1) + (-1)(4) + (3)(-2) \]
\[ \vec{U} \cdot \vec{V} = 2 - 4 - 6 \]
\[ \vec{U} \cdot \vec{V} = -8 \]

Resultado final del ejercicio 3D#

\[ \vec{U} + \vec{V} = \left( 3,3,1 \right) \]
\[ \vec{U} - \vec{V} = \left( 1,-5,5 \right) \]
\[ |\vec{U}| = \sqrt{14} \]
\[ \vec{U} \cdot \vec{V} = -8 \]

Concepto clave#

Un vector en 3D se representa mediante tres componentes: una en \(x\), una en \(y\) y una en \(z\).

Explicación#

En tres dimensiones, un vector se expresa como:

\[ \vec{v} = \left( x,y,z \right) \]

Las operaciones funcionan de forma similar al caso 2D, pero ahora hay una tercera componente.

El módulo en 3D indica la longitud espacial del vector:

\[ |\vec{v}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \]

El producto escalar sirve para relacionar dos vectores y se define como:

\[ \vec{u}\cdot\vec{v} = u_xv_x + u_yv_y + u_zv_z \]

Si el producto escalar es cero, entonces los vectores son perpendiculares.

Ejercicios propuestos#

  1. Calcular la suma y el módulo de dos vectores en 2D: \(\left( 5,-2 \right)\) y \(\left( -3,7 \right)\)

  2. Hallar el producto escalar de \(\left( 1,2,3 \right)\) y \(\left( 4,-1,2 \right)\)

  3. Verificar si dos vectores en 3D son perpendiculares usando el producto escalar

Ejercicios resueltos de producto cruz de vectores#

Ejercicio 1: Producto cruz en 2D#

Dados los vectores

\[ \vec{A} = \left(3,-2\right), \qquad \vec{B} = \left(1,4\right) \]

como el producto cruz se define en \(\mathbb{R}^3\), los escribimos como

\[ \vec{A} = \left(3,-2,0\right), \qquad \vec{B} = \left(1,4,0\right) \]

Calcular:

\[ \vec{A}\times\vec{B} \]

Solución#

Usamos el determinante:

\[\begin{split} \vec{A}\times\vec{B} = \left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \end{array} \right| \end{split}\]

Desarrollando por la primera fila:

\[\begin{split} \vec{A}\times\vec{B} = \hat{i} \left| \begin{array}{cc} -2 & 0 \\ 4 & 0 \end{array} \right| - \hat{j} \left| \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right| + \hat{k} \left| \begin{array}{cc} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{array} \right| \end{split}\]

Calculamos cada menor:

\[\begin{split} \left| \begin{array}{cc} -2 & 0 \\ 4 & 0 \end{array} \right| = (-2)(0) - (0)(4) = 0 \end{split}\]
\[\begin{split} \left| \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right| = (3)(0) - (0)(1) = 0 \end{split}\]
\[\begin{split} \left| \begin{array}{cc} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{array} \right| = (3)(4) - (-2)(1) = 12 + 2 = 14 \end{split}\]

Entonces,

\[ \vec{A}\times\vec{B} = 0\hat{i} - 0\hat{j} + 14\hat{k} \]
\[ \boxed{\vec{A}\times\vec{B} = \left(0,0,14\right)} \]

Magnitud del producto cruz#

\[ \left|\vec{A}\times\vec{B}\right| = \sqrt{0^2+0^2+14^2} = 14 \]
\[ \boxed{\left|\vec{A}\times\vec{B}\right| = 14} \]

Interpretación física#

En 2D, el producto cruz apunta en la dirección del eje \(z\), perpendicular al plano \(xy\). Como el resultado es positivo en \(\hat{k}\), la dirección es hacia afuera del plano según la regla de la mano derecha.

La magnitud

\[ \left|\vec{A}\times\vec{B}\right| = 14 \]

representa el área del paralelogramo formado por \(\vec{A}\) y \(\vec{B}\).

Respuesta final del ejercicio 1#

\[ \boxed{\vec{A}\times\vec{B} = \left(0,0,14\right)} \qquad \boxed{\left|\vec{A}\times\vec{B}\right| = 14} \]

Ejercicio 2: Producto cruz en 3D#

Dados los vectores

\[ \vec{P} = \left(2,-1,3\right), \qquad \vec{Q} = \left(-4,2,1\right) \]

Calcular:

\[ \vec{P}\times\vec{Q} \]

Solución#

Usamos la definición por determinante:

\[\begin{split} \vec{P}\times\vec{Q} = \left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ -4 & 2 & 1 \end{array} \right| \end{split}\]

Desarrollamos por la primera fila:

\[\begin{split} \vec{P}\times\vec{Q} = \hat{i} \left| \begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} \right| - \hat{j} \left| \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -4 & 1 \end{array} \right| + \hat{k} \left| \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{array} \right| \end{split}\]

Calculamos cada menor:

\[\begin{split} \left| \begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} \right| = (-1)(1) - (3)(2) = -1 - 6 = -7 \end{split}\]
\[\begin{split} \left| \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -4 & 1 \end{array} \right| = (2)(1) - (3)(-4) = 2 + 12 = 14 \end{split}\]
\[\begin{split} \left| \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{array} \right| = (2)(2) - (-1)(-4) = 4 - 4 = 0 \end{split}\]

Sustituyendo:

\[ \vec{P}\times\vec{Q} = -7\hat{i} - 14\hat{j} + 0\hat{k} \]
\[ \boxed{\vec{P}\times\vec{Q} = \left(-7,-14,0\right)} \]

Magnitud del producto cruz#

\[ \left|\vec{P}\times\vec{Q}\right| = \sqrt{(-7)^2+(-14)^2+0^2} = \sqrt{49+196} = \sqrt{245} = 7\sqrt{5} \]
\[ \boxed{\left|\vec{P}\times\vec{Q}\right| = 7\sqrt{5}} \]

Interpretación física#

El vector \(\vec{P}\times\vec{Q}\) es perpendicular tanto a \(\vec{P}\) como a \(\vec{Q}\).

Su magnitud

\[ \left|\vec{P}\times\vec{Q}\right| = 7\sqrt{5} \]

representa el área del paralelogramo formado por los vectores \(\vec{P}\) y \(\vec{Q}\).

Por tanto, el área es

\[ \boxed{A = 7\sqrt{5}} \]

Respuesta final del ejercicio 2#

\[ \boxed{\vec{P}\times\vec{Q} = \left(-7,-14,0\right)} \qquad \boxed{\left|\vec{P}\times\vec{Q}\right| = 7\sqrt{5}} \]

Observación general#

Si dos vectores son \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\), entonces

\[ \left|\vec{u}\times\vec{v}\right| = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\sin\theta \]

donde \(\theta\) es el ángulo entre ellos. Este resultado es muy importante en física mecánica, por ejemplo en el cálculo del torque:

\[ \vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F} \]

17. Aplicaciones básicas en física#

En mecánica, los vectores permiten describir de forma rigurosa:

  • La posición de una partícula.

  • El desplazamiento entre dos puntos.

  • La velocidad en el plano.

  • La aceleración.

  • La fuerza neta sobre un cuerpo.

18. Síntesis de la unidad#

En esta unidad se introdujo el lenguaje fundamental de la mecánica:

  • El uso correcto de unidades.

  • La notación científica.

  • Las conversiones.

  • El análisis dimensional.

  • La diferencia entre escalares y vectores.

  • La representación y operaciones con vectores.

Estos contenidos serán la base para estudiar posteriormente el movimiento en una y dos dimensiones.

Conceptos clave#

  • magnitud física

  • unidad

  • Sistema Internacional

  • notación científica

  • prefijo

  • conversión de unidades

  • dimensión

  • escalar

  • vector

  • componente

  • vector unitario

Fórmulas clave#

\[ [v] = LT^{-1} \]
\[ [a] = LT^{-2} \]
\[ [F] = MLT^{-2} \]
\[ \vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} \]
\[ |\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} \]
\[ \tan \theta = \frac{A_y}{A_x} \]
\[ \hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} \]

Guía asociada#

  • Guía 1: Unidades y vectores

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