Unidad 7: Impulso y momentum lineal

Unidad 7: Impulso y momentum lineal#

Descripción general#

En esta unidad se estudia el momentum lineal como una magnitud fundamental del movimiento y el impulso como el efecto de una fuerza aplicada durante un intervalo de tiempo. Estos conceptos permiten analizar interacciones breves e intensas, como choques, impactos y retrocesos.

Además, se introduce el principio de conservación de la cantidad de movimiento, una herramienta central para el estudio de sistemas de partículas y colisiones.

Objetivo de aprendizaje#

Al finalizar esta unidad, el estudiante será capaz de:

  • definir e interpretar el momentum lineal de una partícula;

  • relacionar impulso y cambio de momentum;

  • aplicar la forma impulsiva de la Segunda Ley de Newton;

  • comprender el principio de conservación del momentum lineal;

  • resolver problemas de retroceso y colisiones unidimensionales;

  • distinguir entre colisiones elásticas, inelásticas y perfectamente inelásticas.

1. Introducción#

Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo durante un cierto intervalo de tiempo, puede modificar su estado de movimiento. En muchos fenómenos físicos, especialmente en choques, no basta con conocer solo la fuerza o solo el tiempo por separado: es importante considerar ambos de manera conjunta.

Para ello se introducen dos conceptos clave:

  • el momentum lineal o cantidad de movimiento;

  • el impulso.

2. Momentum lineal o cantidad de movimiento#

El momentum lineal de una partícula es una magnitud vectorial que mide la cantidad de movimiento asociada a su masa y su velocidad.

Se define como:

\[ \vec{p} = m\vec{v} \]

donde:

  • \(m\) es la masa del cuerpo;

  • \(\vec{v}\) es su velocidad.

Propiedades#

  • es una magnitud vectorial;

  • tiene la misma dirección y sentido que la velocidad;

  • aumenta si aumenta la masa o la rapidez.

Unidad de medida#

En el Sistema Internacional:

\[ \text{kg}\cdot \text{m/s} \]

No tiene un nombre especial distinto de esa combinación de unidades.

3. Interpretación física del momentum#

El momentum lineal da una medida de qué tan difícil es cambiar el movimiento de un cuerpo.

Por ejemplo:

  • un objeto muy masivo moviéndose lentamente puede tener un momentum importante;

  • un objeto liviano moviéndose muy rápido también puede tener un momentum considerable.

Esto explica por qué el momentum es especialmente útil para analizar choques e impactos.

4. Impulso#

El impulso cuantifica el efecto global de una fuerza que actúa sobre un cuerpo durante un intervalo de tiempo.

Para una fuerza media aplicada durante un intervalo \(\Delta t\), se define como:

\[ \vec{I} = \vec{F}_{\text{prom}} \Delta t \]

Unidad de medida#

Las unidades del impulso son:

\[ \text{N}\cdot \text{s} \]

que equivalen a:

\[ \text{kg}\cdot \text{m/s} \]

es decir, las mismas unidades que el momentum lineal.

5. Relación entre impulso y cambio de momentum#

La forma impulsiva de la Segunda Ley de Newton establece que el impulso aplicado a un cuerpo es igual al cambio en su momentum lineal:

\[ \vec{I} = \Delta \vec{p} \]

donde:

\[ \Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i \]

Entonces:

\[ \vec{I} = \vec{p}_f - \vec{p}_i \]

Interpretación física#

  • si el impulso es grande, el cambio de momentum será grande;

  • si la fuerza actúa durante más tiempo, puede producir un mayor cambio de momentum;

  • una fuerza intensa en poco tiempo puede tener el mismo efecto que una fuerza menor actuando durante más tiempo.

6. Fuerza media#

A partir de la definición de impulso, también puede obtenerse la fuerza media:

\[ \vec{F}_{\text{prom}} = \frac{\vec{I}}{\Delta t} \]

o bien:

\[ \vec{F}_{\text{prom}} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} \]

Esto es útil en problemas donde se conoce el cambio de velocidad de un cuerpo y el tiempo de interacción.

7. Impulso en fuerzas variables#

Si la fuerza no es constante, el impulso corresponde al área bajo la curva en una gráfica fuerza versus tiempo.

Conceptualmente:

  • mayor área bajo la curva implica mayor impulso;

  • el signo del área determina el signo del impulso;

  • el impulso sigue siendo igual al cambio de momentum.

8. Sistema de partículas y conservación del momentum#

Cuando se analiza un sistema de varias partículas, el momentum total se obtiene sumando vectorialmente los momenta individuales:

\[ \vec{P} = \sum_{i=1}^{N} \vec{p}_i \]

o, en términos de masa y velocidad:

\[ \vec{P} = \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v}_i \]

9. Principio de conservación de la cantidad de movimiento#

Si la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema es nula, entonces el momentum lineal total del sistema permanece constante.

Matemáticamente:

\[ \sum \vec{F}_{ext} = 0 \Rightarrow \vec{P}_i = \vec{P}_f \]

Esto significa que:

\[ \sum \vec{p}_i^{\,\text{inicial}} = \sum \vec{p}_i^{\,\text{final}} \]

Interpretación física#

Aunque las partículas del sistema choquen, se separen o cambien sus velocidades, el momentum total del sistema se conserva si no hay fuerzas externas netas.

10. Conservación del momentum en una dimensión#

En problemas unidimensionales, la ecuación de conservación se escribe de forma escalar, cuidando los signos según el sentido del movimiento.

Para dos cuerpos:

\[ m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f} \]

Esta ecuación es la base para estudiar colisiones lineales.

11. Retroceso#

Un ejemplo clásico de conservación del momentum es el retroceso de un cañón o de un arma al disparar un proyectil.

Si inicialmente el sistema está en reposo, entonces el momentum total inicial es cero:

\[ P_i = 0 \]

Después del disparo:

\[ m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0 \]

De ahí se concluye que los cuerpos se mueven en sentidos opuestos con momenta de igual magnitud y signo contrario.

Interpretación#

El proyectil sale hacia adelante y el cañón retrocede de modo que el momentum total se conserve.

12. Colisiones#

Una colisión es una interacción breve entre dos o más cuerpos durante la cual actúan fuerzas internas muy grandes durante un intervalo de tiempo pequeño.

En toda colisión aislada se conserva el momentum lineal total.

Sin embargo, la energía cinética no siempre se conserva. Según esto, las colisiones se clasifican en distintos tipos.

13. Colisión elástica#

En una colisión elástica se conservan:

  • el momentum lineal;

  • la energía cinética.

Para dos cuerpos en una dimensión:

Conservación del momentum#

\[ m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f} \]

Conservación de la energía cinética#

\[ \frac{1}{2}m_1 v_{1,i}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,i}^2 = \frac{1}{2}m_1 v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,f}^2 \]

Interpretación#

Los cuerpos rebotan sin pérdida neta de energía cinética del sistema.

14. Colisión inelástica#

En una colisión inelástica se conserva el momentum lineal, pero no la energía cinética.

Es decir:

\[ m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f} \]

pero:

\[ K_i \neq K_f \]

Parte de la energía cinética se transforma en otras formas de energía, por ejemplo:

  • calor;

  • deformaciones;

  • sonido.

15. Colisión perfectamente inelástica#

En una colisión perfectamente inelástica, los cuerpos quedan unidos después del choque y continúan moviéndose con una misma velocidad final.

Entonces:

\[ m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = (m_1 + m_2)v_f \]

De aquí:

\[ v_f = \frac{m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i}}{m_1 + m_2} \]

Interpretación#

Es el caso en que la pérdida de energía cinética es máxima dentro de las colisiones que conservan momentum.

16. Coeficiente de restitución#

En algunos cursos introductorios también se usa el coeficiente de restitución para caracterizar el tipo de colisión.

Se define como la razón entre la rapidez relativa de separación y la rapidez relativa de aproximación:

\[ e = \frac{\text{rapidez relativa después del choque}}{\text{rapidez relativa antes del choque}} \]

En una dimensión:

\[ e = \frac{v_{2,f} - v_{1,f}}{v_{1,i} - v_{2,i}} \]

Casos importantes#

  • \(e = 1\): colisión elástica;

  • \(0 < e < 1\): colisión inelástica;

  • \(e = 0\): colisión perfectamente inelástica.

17. Relación entre impulso y colisión#

Durante una colisión, los cuerpos ejercen fuerzas mutuamente durante un tiempo breve.

Por la Tercera Ley de Newton:

  • las fuerzas internas son iguales y opuestas;

  • los impulsos internos también son iguales y opuestos.

Esto explica por qué el momentum total del sistema se conserva en ausencia de fuerzas externas.

18. Aplicaciones típicas#

Los conceptos de impulso y momentum lineal permiten analizar situaciones como:

  • deportes de impacto;

  • choque entre vehículos;

  • retroceso de armas o cañones;

  • colisiones entre masas;

  • explosiones;

  • separación o unión de cuerpos.

En muchos casos, el enfoque basado en momentum es más útil que el enfoque basado en fuerzas, especialmente cuando las interacciones ocurren en tiempos muy cortos.

19. Síntesis de la unidad#

En esta unidad se estudiaron dos magnitudes fundamentales para describir interacciones mecánicas:

  • el momentum lineal, asociado al movimiento de una masa;

  • el impulso, asociado a la acción de una fuerza en el tiempo.

También se introdujo el principio de conservación de la cantidad de movimiento, que permite resolver problemas de colisiones y sistemas aislados de manera directa.

Estos conceptos son fundamentales para el análisis de choques, impactos y movimiento de sistemas de partículas.

Conceptos clave#

  • cantidad de movimiento

  • momentum lineal

  • impulso

  • fuerza media

  • cambio de momentum

  • sistema aislado

  • conservación del momentum

  • retroceso

  • colisión

  • colisión elástica

  • colisión inelástica

  • colisión perfectamente inelástica

  • coeficiente de restitución

Fórmulas clave#

\[ \vec{p} = m\vec{v} \]
\[ \vec{I} = \vec{F}_{\text{prom}} \Delta t \]
\[ \vec{I} = \Delta \vec{p} \]
\[ \Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i \]
\[ \vec{F}_{\text{prom}} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} \]
\[ \vec{P} = \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v}_i \]
\[ \vec{P}_i = \vec{P}_f \]
\[ m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i} = m_1 v_{1,f} + m_2 v_{2,f} \]
\[ \frac{1}{2}m_1 v_{1,i}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,i}^2 = \frac{1}{2}m_1 v_{1,f}^2 + \frac{1}{2}m_2 v_{2,f}^2 \]
\[ v_f = \frac{m_1 v_{1,i} + m_2 v_{2,i}}{m_1 + m_2} \]
\[ e = \frac{v_{2,f} - v_{1,f}}{v_{1,i} - v_{2,i}} \]

Guía asociada#

  • Guía 7: Impulso y momentum lineal