Gravitacion y problema de dos cuerpos

Gravitacion y problema de dos cuerpos#

La ley de gravitación universal describe la interaccion atractiva entre masas y permite estudiar desde la caida de cuerpos hasta la dinamica orbital. Cuando dos masas interactuan de forma dominante entre si, el problema puede reformularse en terminos del centro de masa y de la coordenada relativa.

Objetivos de aprendizaje#

  • Aplicar la ley de gravitación universal.

  • Calcular campo y potencial gravitatorio.

  • Estudiar orbitas circulares como balance entre fuerza y aceleracion centripeta.

  • Relacionar energia mecanica con sistemas ligados y no ligados.

  • Introducir el problema de dos cuerpos y el uso del centro de masa.

Ley de gravitacion universal#

\[F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\]

Campo y potencial#

\[\vec{g} = - G \frac{M}{r^2} \hat{r}\]
\[U(r) = - G \frac{M m}{r}\]

Centro de masa y coordenada relativa#

Para dos masas m_1 y m_2, el centro de masa se define como

\[\vec{R}=\frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{m_1+m_2}\]

y la coordenada relativa como

\[\vec{r}=\vec{r}_1-\vec{r}_2\]

Esta transformacion simplifica el analisis orbital porque separa el movimiento global del sistema de la dinamica interna.

Orbita circular#

\[\frac{m v^2}{r} = G \frac{M m}{r^2}\]
\[v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\]

Energia efectiva y estabilidad orbital#

En fuerzas centrales, una idea util es reorganizar la dinamica radial mediante un potencial efectivo. Esto ayuda a visualizar radios permitidos, barreras centrifugas y condiciones de estabilidad.

Extensiones importantes#

  • Orbitas elipticas y leyes de Kepler.

  • Velocidad de escape.

  • Dispersión clasica en potenciales centrales.

  • Mareas y variacion espacial del campo gravitatorio.

Problemas tipo#

  1. Velocidad orbital.

  2. Velocidad de escape.

  3. Comparacion de energia potencial gravitatoria cerca y lejos de la Tierra.

  4. Sistema de dos cuerpos usando centro de masa y coordenada relativa.